Tracé des médiétés de 2 nombres
Le terme médiété vient des philosophes et des mathématiciens grecs. Du point de vue du mathématicien, une médiété est une règle qui relie trois nombres a, b et c, respectivement trois grandeurs, différents liés par une relation d'ordre strict : a > b > c. Les règles sont telles que si deux nombres sont connus, alors le troisième est déterminé. En particulier, si a et c qui sont connus alors il s'agit de rechercher une grandeur b comprise entre a et c. Une médiété devient alors une règle mathématique permettant d'insérer un nombre b, respectivement une grandeur, comprise entre deux nombres donnés a et c. Le nombre b est alors désigné moyenne tandis que le terme médiété désignera les trois nombres a, b, c tels que a > b > c.
Certains auteurs comme Pierre-Henri Michel ont montré que les mathématiciens grecs ont identifié 11 règles pour déterminer cette grandeur b mais trois d'entre elles sont plus particulièrement connues :
- moyenne arithmétique : m =
- moyenne géométrique : g =
- moyenne harmonique : h =
En peut donc définir la relation suivante entre ces moyennes : g2 = m.h.
Il est possible de représenter graphiquement ces trois moyennes en considérant que le cercle c0 de centre O dont la longueur du diamètre est égale à a + b. Dans la figure ci-dessous le segment [AH1] a une longueur a et le segment [H1C] a une longueur c0, on a alors :
- la moyenne arithmétique est la longueur du segment [AO] ou [OC], cette longueur étant le rayon du cercle c.
- la moyenne géométrique est la longueur du segment [BH1] où le point B est un point du cercle dont la projection orthogonale sur [AB] est le point H1.
- la moyenne harmonique est la longueur du segment [H2B] où le point H2 est la projection orthogonale du point H1 sur le rayon [OB]
Les résultats se déduisent de la propriété liée à la projection du sommet sur l'hypoténuse d'un triangle rectangle :
- D'après le triangle Un triangle est une figure plane formée par 3 points, appelés sommets, et par trois segments, appelés côtés, qui les relient. Si les sommets sont distincts deux à deux, le triangle est constitué de trois angles (d'où son nom). Le triangle est le polygone le plus simple. Un triangle est acutangle si tous ses angles sont aigus (inférieur à 90°), il est rectangle si un des angles est égale à 90° (ou π/2) et il est obtusangle si un des angles est obtus ( supérieur à 90°). Un triangle est équilatéral si les trois longueurs ont la même longueur, il est isocèle s'il a au moins deux des cotés de même longueur sinon il est dit scalène. Lire plus (ABC) (triangle vert) on a : g2 = a.c (1).
- D'après le triangle (OBH1) (triangle marron), on a h32 = h.h1 (2).
En appliquant la formule de Pythagore Pythagore est un philosophe qui serait né aux environs de 580 av. J.-C. à Samos, une île du sud-est de la mer Égée ; on situe sa mort vers 495 av. J.-C., à l'âge de 85 ans. Il a introduit la notion de métempsycose dans le monde grec ; son nom est aussi lié aux mathématiques, à la philosophie des nombres ainsi qu'à la notion d'harmonie céleste. Par ailleurs, maître de sagesse charismatique, il a fondé en Italie du Sud une communauté à mi-chemin entre la politique et la philosophie, qui s'est distinguée par son mode de vie spécifique. Lire plus au triangle (H1H2B), on a h2 + h32 = g2 (3).
Par construction, o, a h1 = (a + c) /2 - h (4).
En appliquant (1), (2) et (4) à (3) on obtient : h2 + h.((a + c)/2 - h) = a.c d'où h = 2.a.c / (a + b) = 
Ces trois médiétés sont importante pour construire la gamme pythagoricienne. En considérant l'unisson définit par l'intervalle de longueur 1 (c = 1 et a = 2), la moyenne arithmétique L'arithmétique est une branche des mathématiques qui étudie les propriétés et les règles de calcul entre les nombres. Lire plus donne la Quinte (3/2) et la moyenne harmonique définit la Quarte (4/3).