Triangle équilatéral
Un triangle équilatéral est un triangle dont les côtés ont la même longueur ; ses trois angles ont la même mesure de 60°. Il constitue le plus petit polygone régulier.
Quelques propriétés remarquables du triangle Un triangle est une figure plane formée par 3 points, appelés sommets, et par trois segments, appelés côtés, qui les relient. Si les sommets sont distincts deux à deux, le triangle est constitué de trois angles (d'où son nom). Le triangle est le polygone le plus simple. Un triangle est acutangle si tous ses angles sont aigus (inférieur à 90°), il est rectangle si un des angles est égale à 90° (ou π/2) et il est obtusangle si un des angles est obtus ( supérieur à 90°). Un triangle est équilatéral si les trois longueurs ont la même longueur, il est isocèle s'il a au moins deux des cotés de même longueur sinon il est dit scalène. Lire plus équilatéral :
- Tous les triangles équilatéraux sont semblables.
- Les médiatrices, les médianes, les bissectrices et les hauteurs d'un triangle équilatéral Un triangle équilatéral est un triangle dont les côtés ont la même longueur ; ses trois angles ont la même mesure de 60°. Lire plus sont confondus, ils constituent les axes du triangle. Dans l'exemple, les segments [M1E1], [M2E2] et [M3E3] sont les axes du triangle équilatéral de l'exemple ci-dessus.
- Le centre de gravité, l'orthocentre et les centres des cercles inscrit, circonscrit et à 9 points sont confondus, il constitue le centre du triangle. Dans l'exemple ci-dessus, le point O est le centre du triangle.
- Le cercle inscrit et le cercle à 9 points sont confondus et toute droite passant par O est une droite d'Euler.
- Chaque triangle équilatéral est invariant par les symétries sur les axes et par les rotations de 60° autour du centre du triangle.
- Si a est la longueur des côtés du triangle, la longueur h des hauteurs est égale à :
- Si a est la longueur des côtés du triangle, le périmètre du triangle est égale à 3.a et l'aire du triangle est égale à :
- Le rayon du cercle circonscrit est égal à
et sachant que le rayon du cercle circonscrit et le double du rayon du cercle à 9 points, le rayon du cercle inscrit est égal à 
Le Triangle de Sierpiński :
Le triangle de Sierpiński, ou tamis de Sierpiński, est une fractale Une fractale est un objet géométrique « infiniment morcelé » dont les détails sont observables à une échelle arbitrairement choisie. En zoomant sur une partie de la figure, on peut retrouver toute la figure, on dit qu’elle est auto similaire.Même si un certain nombre de choses était déjà connu, on attribue la découverte des fractales à Benoît Mandelbrot. Lire plus du nom de Waclaw Sierpiński Wacław Sierpiński, né le 14 mars 1882 à Varsovie et mort 21 octobre 1969 dans la même ville, est un mathématicien polonais, connu pour ses recherches sur la théories des nombres, théories des ensembles, la topologie et la théorie des fonctions. Lire plus présentée en 1915. Il se construit de la façon suivante à partir d'un triangle équilatéral coloré quelconque :
- Tracer le triangle médian Le triangle médian est le triangle qui joint les milieux des côtés d'un triangle. Lire plus et le colorer en blanc
- Recommencer l'opération sur les triangles colorés symétriques au triangle médian
Le procédé peut également s'appliquer sans tenir compte de la couleur :
En s'appuyant sur la même logique il est possible de construire la fractale en partant de la base du triangle et en reportant ensuite le schéma suivant sur chaque segment de droite :
On obtient la fractale suivante :
