Triangle scalène

Un triangle est une figure plane formée par 3 points, appelés sommets, et par trois segments, appelés côtés, qui les relient. Si les sommets sont distincts deux à deux, le triangle est constitué de trois angles (d'où son nom).

Le triangle est le polygone le plus simple. 

Un triangle est acutangle si tous ses angles sont aigus (<90°) ; le triangle (A₁A₂A₃) est acutangle. Un triangle est obtusangle si un des angles est obtus (>90°) ; le triangle (O₁O₂O₃) est obtusangle.

Dans l'exemple précédent, α₁, α₂ et α₃ sont les angles du triangle acutangle et a₁, a₂ et a₃ sont ses côtés. De même, β₁, β₂ et β₃ sont les angles du triangle obtusangle et  o₁, o₂ et o₃ sont ses côtés.

Un triangle est isocèle s'il a au moins deux des cotés de même longueur, il est équilatéral si les trois longueurs ont même longueur. Un triangle équilatéral comporte trois angles de 60° (ou π/3), il forme un polygone régulier. Il est rectangle si un des angles est un angle droit (90°).

Un triangle qui n'est pas isocèle est dit scalène.

La somme des angles d'un triangle est égale à 180°, soit π.

Deux triangles sont dits semblables s'ils ont la même forme mais pas nécessairement la même taille. En d'autres termes, si leurs côtés sont proportionnels ou ce qui est équivalent s'ils ont les mêmes angles.

Construction autour du triangle :

Les constructions proposées dans la suite de cette page illustrent les tracés sur un triangle acutangle et un triangle obtusangle.

Médianes et centre de gravité :

Le tracé des médianes d'un triangle permet d'identifier le centre de gravité du triangle, également désigné isobarycentre, il nécessite dans un premier d'identifier les milieux des différents côtés du triangle. Les médianes sont les segments qui lient les milieux des côtés aux sommets opposés. Les trois médianes d'un triangle sont sécantes au centre de gravité du triangle.

Dans l'exemple précédent, les points M_A1, M_A2 et M_A3 sont les milieux des segments a₁, a₂ et a₃ et m_A1, m_A2 et m_A3 sont les médianes du triangle acutangle. Le point G_A, intersection des médianes, est le centre de gravité du triangle acutangle. De même, les points M_O1, M_O2 et M_O3 sont les milieux des segments o₁, o₂ et o₃ et m_O1, m_O2 et m_O3 sont les médianes du triangle obtusangle. Le point G_O, intersection des médianes, est le centre de gravité du triangle obtusangle.

Le triangle médian est le triangle formé par les milieux des côtés d'un triangle donné. Ce triangle découpe le triangle initial en quatre triangles semblables au triangle initial et l'aire de chacun des triangles est le quart de celle du triangle initial. Ce triangle médian est « inversé » par rapport aux trois autres. Dans l'exemple, (M_A1M_A2M_A3) et (M_O1M_O2M_O3) sont les triangles médians des triangles (A₁A₂A₃) et (O₁O₂O₃). D'après le théorème des milieux , le triangle médian à ses côtés parallèles à ceux du triangle initial et dont les longueurs des côtés sont proportionnelles dans un rapport de 1/2. Par exemple, méd_a3 // a₃, méd_o3 // o₃  et longueur(a₂)/ longueur(méd_a2) = 2.

Par construction, le triangle médian est le triangle cévien du centre de gravité.

Bissectrices et cercle inscrit :

Le tracé des bissectrices permet d'identifier le centre du cercle inscrit, c'est-à-dire le cercle tangent à chacun des côtés du triangle. Les points de tangence sont les projetés orthogonaux du centre de cercle inscrit sur chacun des côtés du triangle. Le cercle inscrit est le plus grand cercle contenu dans le triangle.

Dans l'exemple ci-dessus, C_A, respectivement C_O, est le centre du cercle inscrit ci_A, resp. ci_O et H_1CA, H_2CA et H_3CA, resp. H_1CO, H_2CO et H_2C3, sont les projections orthogonales du centre sur les côtés du triangle. 

Les céviennes des projections orthogonales du centre du cercle inscrit ont un point de concours qui est appelé point de Gergonne. Les points de tangence du cercle inscrit définissent le triangle de contact, ou triangle de Gergonne ( triangle cévien du point de Gergonne). Les points d'intersection des bissectrices avec les côtés du triangles de contact permettent de construire des droites orthogonales aux bissectrices.

Dans l'exemple ci-dessus, le point PG_A est le point de Gergonne du triangle (A₁A₂A₃) et  H_1CA, H_2CA et H_3CA, respectivement H_1CO, H_2CO et H_3CO, sont les sommets du triangle de contact. Les points PG_A1, PG_A2 et PG_A3, respectivement PG_O1, PG_O2 et PG_O3, sont les points d'intersections des bissectrices avec les côtés du triangle de contact, ils forment un triangle dont les côtés sont orthogonaux aux bissectrices.

Hauteurs et orthocentre :

La hauteur d'un triangle est une droite par un sommet et coupant perpendiculairement le côté opposé à ce sommet, le pied de la hauteur est le point d'intersection de la hauteur et du côté opposé. En d'autres termes, le pied d'une hauteur est le projeté orthogonal du sommet sur le côté opposé. Le tracé des hauteurs d'un triangle permet d'identifier l'orthocentre du triangle, c'est-à-dire le point d'intersection des droites portées par les hauteurs du triangle. Dans un triangle obtusangle l'orthocentre est situé en dehors du périmètre du triangle.

Dans l'exemple ci-dessus H_A1, H_A2 et H_A3 sont les projections orthogonales des sommets A₁, A₂ et A₃. les segments h_A1, h_A2 et h_A3 sont les hauteurs du triangle ; le point H_A, intersection des hauteurs est le orthocentre du triangle (A₁A₂A₃). De même, H_O1, H_O2 et H_O3 sont les projections orthogonales des sommets O₁, O₂ et O₃. les segments h_O1, h_O2 et h_O3 sont les hauteurs du triangle ; le point H_O, intersection des hauteurs est le orthocentre du triangle (O₁O₂O₃).

Médiatrices et cercle circonscrit :

Le tracé des médiatrices des côtés du triangle permet d'identifier le centre du cercle circonscrit, c'est-à-dire le cercle passant par les 3 sommets du triangle. Dans un triangle acutangle, le centre du cercle est dans le périmètre du triangle alors que, dans un triangle obtusangle, le centre du cercle est à l'extérieur du périmètre du triangle.

Dans l'exemple ci-dessus, médi_a1, médi_a2 et médi_a3 sont les médiatrices des 3 côtés du triangle (A₁A₂A₃) et leur intersection est le point O_A qui est le centre du cercle circonscrit cc_A. De même, médi_o1, médi_o2 et médi_o3 sont les médiatrices des 3 côtés du triangle (O₁O₂O₃) et leur intersection est le point O_O qui est le centre du cercle circonscrit cc_O. 

Une synthèse, la droite de Euler et le cercle à neuf points :

Euler a proposé une véritable synthèse des points particuliers énoncés dans les paragraphes précédents. En effet, il propose un théorème qui stipule que, dans un triangle l'orthocentre, le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit sont sur une même droite désignée droite d'Euler. De plus, le cercle à neuf points, également appelé cercle d'Euler ou cercle de Feuerbach, d'un triangle donné par 9 points significatifs :

• les trois pieds des hauteurs du triangle,
• les trois milieux des côtés du triangle,
• les trois milieux des segments qui reliant les sommets du triangle à l'orthocentre.

Le centre de ce cercle est le milieu du segment reliant l'orthocentre au centre du cercle circonscrit.

Dans le triangle (A₁A₂A₃) :

• La droite d'Euler lient les points H_A, G_A et O_A,
• Le cercle des 9 points passent par
  • H_A1, H_A2 et H_A3 sont les pieds des hauteurs du triangle,
  • M_A1, M_A2 et M_A3 sont les milieux des côtés du triangles,
  • M_ma1, M_mo2 et M_mo3 sont les milieux des segments qui reliant l'orthocentre H_A aux trois sommets A₁ [H_AA₁], A₂ [H_AA₂] et A₃ [H_AA₁].
  • Le point CE_A milieu de [H_AO_A] est le centre du cercle.

Dans le triangle (O₁O₂O₃) :

• La droite d'Euler lient les points H_O, G_O et O_O,
• Le cercle des 9 points passent par
  • H_O1, H_O2 et H_O3 sont les pieds des hauteurs du triangle,
  • M_O1, M_O2 et M_O3 sont les milieux des côtés du triangles,
  • M_mo1, M_ma2 et M_ma3 sont les milieux des segments qui reliant l'orthocentre H_O aux trois sommets O₁ [H_OO₁], O₂ [H_OO₂] et O₃ [H_OO₁].
  • Le point CE_O milieu de [H_OO_O] est le centre du cercle.

Le cercle à neuf points est tangent au cercle inscrit et a un rayon égal à la moitié du rayon du cercle circonscrit.