Polygone
Quelques notions de base :
Un polygone est une figure géométrique plane formée d'une ligne brisée fermée, c'est-à-dire une suite cyclique de segments consécutifs. Les segments sont désignés côtés et les extrémités des segments sont appelés sommets. L'ordre du polygone est le nombre de ses côtés.
Un polygone est dit simple si deux côtés non consécutifs ne se rencontrent pas et deux côtés consécutifs n'ont en commun que l'un de leurs sommets.
Un polygone est dit convexe s'il est simple et si les angles du polygone sont tous inférieurs à 180°ou si tout segment joignant deux sommes est inclus dans le périmètre du polygone ; il est dit concave s'il n'est pas convexe.
Exemple :
Le polygone de sommets (A1, A2, A3, A4, A5, A6) est concave car le segment [A2A4] n'est pas inclus dans le périmètre du polygone. De même, le polygone de sommets (B1, B2, B3, B4, B5, B6) est convexe, tous les segments qui lient les sommets sont inclus dans le périmètre du polygone.
Un polygone est dit équilatéral si tous les côtés ont la même longueur. Par exemple, un carré est par définition un polygone équilatéral.
Un polygone est dit équiangle si tous les angles ont la même mesure. Par exemple, une carré est par définition un polygone équiangle.
Un polygone est dit régulier s'il est équilatéral et équiangle. Une telle figure géométrique vérifie les propriétés suivantes :
- il est isogonal (tous les sommets sont identiques),
- il est bicentrique :
- il possède un cercle circonscrit qui passe par tous les sommets du polygone,
- Il possède un cercle inscrit qui est tangent à tous les côtés du polygone,
- les cercles inscrit et circonscrit ont le même centre.
Exemple :
Le polygone ci-dessous est un polygone régulier d'ordre 13, un tridécagone.
Un polygone est dit régulier étoilé, également désigné polygramme, s'il est régulier non convexe, souvent appelé polygone étoilé. Il est construit en reliant un sommet Pi du polygone régulier à un autre sommet Pi+q du polygone régulier avec q > 1. Il faut recommencer le tracé jusqu'à revenir au sommet initial. Un tel polygone est dénoté P{p/q} où p est le nombre de sommets et q le décalage utilisé pour la construction. Le polygone est étoilé si les entiers p et q sont premiers entre eux, dans cas contraire, il est désigné étoilé dégénéré car il est constitué de plusieurs polygones entrecroisés.
Exemple :
Les trois polygones suivants sont des polygones étoilés construits à partir d'un polygone régulier constitué de 9 sommets : énnéagone ou nonagone.
Dans cet exemple, le premier polygone étoilé est un polygone de la forme P{9/2}, le second est de la forme P{9/3}, il est donc un polygone étoilé dégénéré c'est-à-dire constitués de 3 polygones réguliers de degré 3 entrecroisés (3 triangles entrecroisés). Le troisième est un polygone étoilé de la forme P{9/4}. Il n'existe pas d'autre polygone étoilé à partir de ce polygone régulier car P{9/5} est identique à P{9/4}, P{9/6} est identique à P{9/3} et P{9/7} est identique à P{9/2}.
Remarque : P{9/1} et P{9/8} sont des polygones réguliers non étoilés car les sommets sont adjacents.
Désignation des polygones convexes et des polygones étoilés :
Quand le polygone à un nombre de sommets peu élevé, son nom peut combiner un préfixe numéral et le suffixe grec gone pour un polygone régulier et gramme pour un polygone étoilé.
| Polygone régulier | Polygone étoilé | Remarques | Illustration |
|---|---|---|---|---|
3 | Trigone | — | Pas de polygone étoilé d'ordre 3 Un trigone est un triangle équilatéral Un triangle équilatéral est un triangle dont les côtés ont la même longueur ; ses trois angles ont la même mesure de 60°. Lire plus |  |
4 | Carré | — | Pas de polygone étoilé d'ordre 4 |  |
5 | Pentagone Un pentagone est un polygone régulier convexe composé de cinq côtés. Lire plus | Pentagramme Un pentagramme est un polygone étoilé composé de cinq branches. Lire plus | Un seul polygone étoilé P{5/2} |  |
6 | Hexagone | Hexagramme | Un unique polygone étoilé dégénéré P{6/3} |  |
7 | Heptagone | Heptagramme | Deux polygones étoilés P{7/2} (vert) et P{7/3} (rouge) |  |
8 | Octogone | Octogramme | Un seul polygone étoilé P{8/3} (vert) Un polygone étoilé dégénéré P{8/2} (rouge) |  |
9 | Ennéagone Nonagone | Ennéagramme Nonagramme | Deux polygones étoilés P{9/2} (rouge) et P{9/4} (bleu) Un polygone étoilé dégénéré (P{9/3} (vert) |  |
10 | Décagone | Décagramme | Un polygone étoilé P{10/3} (vert) Deux polygones étoilés dégénérés P{10/2} (rouge) et P{10/4} (bleu) |  |
11 | Hendécagone | Hendécagramme | Quatre polygones étoilés P{11/2} (vert), P{11/3} (rouge), P{11/4} (bleu) et P{11/2} (violet) |  |
12 | Dodécagone | Dodécagramme | Un polygone étoilé P{12/5} (violet) Trois polygones étoilés dégénérés P{12/2} (rouge), P{12/3} (vert) et P{12/4} (bleu), |  |