Le triangle de Pascal est une arrangement géométrique d'entier représentant les coefficients de l'équation polynômiale (x + y)n ; ce triangle Un triangle est une figure plane formée par 3 points, appelés sommets, et par trois segments, appelés côtés, qui les relient. Si les sommets sont distincts deux à deux, le triangle est constitué de trois angles (d'où son nom). Le triangle est le polygone le plus simple. Un triangle est acutangle si tous ses angles sont aigus (inférieur à 90°), il est rectangle si un des angles est égale à 90° (ou π/2) et il est obtusangle si un des angles est obtus ( supérieur à 90°). Un triangle est équilatéral si les trois longueurs ont la même longueur, il est isocèle s'il a au moins deux des cotés de même longueur sinon il est dit scalène. Lire plus définit les coefficients spécifiques à un degré.
L'animation présente le calcul des coefficients (source Wikipédia).
Si la tradition occidentale attribue le nom de ce triangle à Blaise Pascal, il est à souligner qu'il était déjà connu en Orient et au Moyen-Orient plusieurs siècles avant la publication de Blaise Pascal.
Construction du tableau des coefficients :
Ce tableau facilite le développement de la forme polynômiale : (x + y)6 = x6 + 6x5y + 15 x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 6xy5 + y6
Triangle de Pascal et suite de Fibonacci :
Il est possible de retrouver les éléments de la suite de Fibonacci en s'appuyant sur les diagonales du triangle de Pascal comme le montre le schéma suivant :
Les termes de la suite sont calculés en faisant la somme des diagonales.
Triangle de Pascal et réseau binaire :
Un réseau binaire est un arbre binaire dégénéré dans le sens où un nœud peut avoir deux pères. Un triangle de Pascal peut donc assimilé à un tel réseau. On désigne alors par chemin un parcours qui consiste à partir de la racine pour aller vers une feuille du réseau sans jamais « faire de marche arrière » (c'est-à-dire « remonter vers un père »). Le nombre de chemins possibles reliant la racine à un nœud est défini par la valeur associée au nœud.
Exemple de chemins associés à un noeud :
