Gamme de Pythagore

Pythagore était convaincu que « Tout nombre est nombre » et il fût le premier à établir quatre consonnances fondamentales de la gamme musicale que sont l'unisson, l'octave, la quinte et la quarte. 

Les pythagoriciens considéraient que les accords sont d'autant plus mélodieux que les rapports qui les caractérisent sont des fractions faisant intervenir des petits nombres entiers. Avant d'aborder la construction pythagoricienne, il semble intéressant de rappeler quelques éléments de base sur les rapports. Le rapport de le plus simple qui lie une fréquence suivante est un rapport de 2. Quand n₂ est à l'octave de n₁, n₂ = 2. n₁, touts les harmoniques de n₂, et n₂, sont des harmoniques de n₁ ... D'une certaine façon, n₂ disparaît dans n₁ ! Dans la suite de cette page, l'octave est représenté par l'intervalle [1, 2]. Par la simple connaissance de l'octave, la plage des sons commence à se structurer, elle est divisée en une série d'octaves. Il s'agit maintenant de structurer l'octave elle-même en s'appuyant sur la moyenne arithmétique . Une autre façon de procéder est de ramener la note triple dans l'intervalle de l'octave en la divisant par deux. Il est maintenant possible d'identifier le complémentaire de la quinte, c'est-à-dire la note qui multipliée à la quinte donne l'unité, cette valeur est ensuite ramenée dans l'intervalle de l'octave en multipliant la valeur par 2.

Pythagore se serait appuyer sur un instrument monocorde muni d’un taquet mobile capable de modifier la proportion, les guitaristes y verront les frettes de leur instrument. La corde de cet instrument a une longueur conventionnelle d’une unité et les positions du taquet sur le schéma correspondent aux longueurs 1/2, 2/3 et 3/4. 

Les cordes vibrent avec une fréquence inversement proportionnelle à la longueur soit 4 : 3 et 3 : 2 et 2 : 1. Si la corde entière vibre à la fréquence propre du do, on obtient respectivement le fa (quarte = 4 : 3), le sol (quinte = 3 : 2) et le do (octave = 2 : 1). Les différentes notes de la gamme sont obtenues en prenant en la moyenne arithmétique élevées à une puissance relative : -1, 0, 1, 2, 3, 4 et 5. Les valeurs sont ensuite ramenées dans l'intervalle par des multiplications ou des divisions successives de 2.

Remarque : la puissance -1 définit le complémentaire de la moyenne arithmétique et la puissance 0 définit la note fondamentale.

 Il suffit ensuite d'ordonner les valeurs par ordre croissant est on obtient :

Remarque : Fa est la quatrième note d'où le nom de quarte et Sol est la cinquième note d'où le nom de quinte.

Sur l'intervalle [1, 2], la moyenne arithmétique est la quinte, la quarte est la moyenne géométrique et la moyenne géométrique est l'octave :

• Moyenne arithmétique : 3/2
• Moyenne harmonique : 4/3
• Moyenne géométrique : 2