Arithmétique, la science des nombres

L'arithmétique est la branche des mathématiques qui traite des nombres et, pour ce faire, elle les catégorise en ensembles : 

• entier naturel : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., n, ... dont l'ensemble st noté N.
• entier relatif : ..., -m, ... -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., n, ... dont l'ensemble est noté Z.
• rationnel : nombre qui s'exprime comme le quotient de deux entiers relatifs dont l'ensemble est noté Q.

• réel : nombre qui peut être représenté par une partie entière (entier relatif) et partie décimale (liste finie ou infinie de chiffres) dont l'ensemble est noté R. 

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  • irrationnel : nombre réel qui n'est pas rationnel.
  • complexe : nombre représenté sous la forme z = a + ib où a et b sont des réels et i2 = - 1 ; a est désigné partie réelle et b partie imaginaire. L'ensemble des nombres complexes est souvent noté ℂ.
  • constructible : mesure d'une longueur associée à deux points constructibles à la règle (non graduée) et au compas.
  • algébrique : nombre réel ou complexe qui est racine d'un polynôme non nul à coefficients rationnels.
  • transcendant : nombre réel qui n'est pas racine d'aucun polynôme non nul à coefficients rationnels.

Quelques compléments sur ces ensembles :

• Par construction, tout entier naturel est relatif.
• Tout entier relatif est rationnel (dénominateur = 1).
• Tout nombre rationnel a est algébrique car il est solution de l'équation x - a = 0.
• Tout nombre constructible est algébrique.
• Tout nombre transcendant n'est pas algébrique.