Triangle rectangle
Un triangle rectangle est un triangle dont un des angles est un angle droit (90° ou π/2).
Le théorème le plus connu associé au triangle rectangle est le théorème de Pythagore Pythagore est un philosophe qui serait né aux environs de 580 av. J.-C. à Samos, une île du sud-est de la mer Égée ; on situe sa mort vers 495 av. J.-C., à l'âge de 85 ans. Il a introduit la notion de métempsycose dans le monde grec ; son nom est aussi lié aux mathématiques, à la philosophie des nombres ainsi qu'à la notion d'harmonie céleste. Par ailleurs, maître de sagesse charismatique, il a fondé en Italie du Sud une communauté à mi-chemin entre la politique et la philosophie, qui s'est distinguée par son mode de vie spécifique. Lire plus : dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres longueurs.
Dans le triangle Un triangle est une figure plane formée par 3 points, appelés sommets, et par trois segments, appelés côtés, qui les relient. Si les sommets sont distincts deux à deux, le triangle est constitué de trois angles (d'où son nom). Le triangle est le polygone le plus simple. Un triangle est acutangle si tous ses angles sont aigus (inférieur à 90°), il est rectangle si un des angles est égale à 90° (ou π/2) et il est obtusangle si un des angles est obtus ( supérieur à 90°). Un triangle est équilatéral si les trois longueurs ont la même longueur, il est isocèle s'il a au moins deux des cotés de même longueur sinon il est dit scalène. Lire plus (ABC), l'hypoténuse est la longueur AC, il s'agit donc de montrer que le carré de l'hypoténuse (carré violet) et égal à la somme des carrés des deux autres côtés (carré bleu et carré vert).
En disposant judicieusement 4 triangles (ABC) et le carré l'hypoténuse et 4 triangles (ABC) et les carrés des deux autres côtés, on peut constater que l'obtient la même surface :
Quelques triangles rectangles particuliers :
- Le triangle des écoliers dont les angles sont égaux à 30°, 60° et 90° (triangle orange),
- Le triangle des arpenteurs dont les longueurs des côtés sont 3, 4 et 5 qui peut être construire grâce à une corde à 12 nœuds régulièrement espacés (triangles marrons)
- Le triangle rectangle Un triangle rectangle est un triangle dont un des angles est un angle droit (90° ou π/2). Lire plus isocèle dont les angles sont égaux à 45°, 45° et 90° (triangle bleu)
- Le triangle de Kepler dont les longueurs des côtés suivent une progression géométrique de raison Φ où Φ est le nombre d'or Le nombre d'or, aussi appelé ratio d'or, est un concept mathématique qui donne le nombre irrationnel phi ou Φ, qui équivaut approximativement à 1,618. Il provient de la séquence de Fibonacci, qui est une série de nombres dans laquelle le nombre suivant est la somme des deux nombres précédents. Lire plus (les longueurs sont 1, Φ, Φ2).
Quelques propriétés d'un triangle rectangle :
Si l'on considère le diamètre d'un cercle alors le triangle formé par le diamètre et tout point du cercle (autre que les extrémités du diamètre) est un triangle rectangle.
En prenant le diamètre d'un cercle définissant un triangle des écoliers alors le triangle dont la côté est le rayon du cercle est un triangle équilatéral Un triangle équilatéral est un triangle dont les côtés ont la même longueur ; ses trois angles ont la même mesure de 60°. Lire plus .
Dans l'exemple ci-dessus, [R1R2] est le diamètre d'un cercle et tout point R2 situé sur la circonférence du cercle, autre que R1 et R2, forme un triangle rectangle dont le diamètre est l'hypoténuse. De même, le point I à l'intersection des cercles de centre O1 passant par O2 et de centre O2 par O2, est un sommet du triangle équilatéral (O1O2O3) et du triangle rectangle (O2O3O4) dénommé triangle des écoliers.
Soit le triangle (ABC) tel que H soit la projection orthogonal de B sur [AB], il est possible d'établir la relation suivante entre les longueurs des segments [HA], [HB] et [HC] dénotées respectivement p, h et q. Cette relation est : h2 = p.q.
D'après le théorème de Pythagore énoncé plus haut :
- AB2 + BC2 = AC2
- AB2 = p2 + h2
- BC2 = h2 + q2
- AC = p + q
(1) + (2) + (3) + (4) ⇒ (p + q)2 = p2 + h2 + h2 + q2 ⇒ p2 + q2 + 2p.q = p2 + q2 +2h2 ⇒ p.q = h2
Relations trigonométriques dans un triangle rectangle :
Les fonctions trigonométriques sont souvent associées au triangle rectangle car il est utilisé pour en déterminer les valeurs :
Valeurs des fonctions trigonométriques :
- Cosinus de l'angle : cos(α) = adjacent / hypoténuse
- Sinus de l'angle : sin(α) = opposé / hypoténuse
- Tangente de l'angle : tan(α) = opposé / adjacent
Centre de gravité, orthocentre, cercles inscrit et circonscrit dans un triangle rectangle :
Les différents points évoqués dans la description d'un triangle scalène existent bien évidemment dans un triangle rectangle.
Les points remarquables du triangle rectangle :
- Le triangle médian Le triangle médian est le triangle qui joint les milieux des côtés d'un triangle. Lire plus est bien un triangle rectangle dont la surface est le quart de la surface du triangle (R1R2R3) et le centre de gravité est sur le segment [R1M1].
- L'orthocentre d'un triangle rectangle est le sommet portant l'angle droit, le point R1 dans l'exemple.
- Le centre du cercle circonscrit d'un triangle rectangle est toujours le milieu de l'hypoténuse, point M1 dans l'exemple.
- La droite d'Euler porte le rayon du cercle circonscrit et le point OE, centre du cercle à neuf points, est le milieu du rayon [M1R1] du cercle circonscrit du milieu de l'hypoténuse du triangle médian. Les neufs points sont :
- Les pieds des hauteurs de R2 et R3 sont confondus avec le sommet R1 et l'orthocentre
- Les milieux M1, M2 et M3 des côté du triangle. En tenant compte du constat précédent, le segment [R1M1] est le diamètre du cercle à neuf points qui est également le rayon du cercle circonscrit,
- L'orthocentre étant confondu avec le sommet R1, les milieux des segments qui relient ce point aux sommets du triangle sont le point R1 lui-même et les points M2 et M3.