Puissance des nombres
Selon une légende, le roi Balhit promit une récompense fabuleuse à qui lui proposerait une distraction qui le sortirait de son ennui. Lorsque le sage Sessa lui présenta le jeu d'échecs au souverain qui prit un grand plaisir et lui demanda ce que celui-ci désirait en échange de ce cadeau extraordinaire. Sessa demanda au roi de déposer un grain de blé sur la première case du jeu, deux sur la deuxième case, quatre sur la suivante et ainsi de suite jusqu'à la 64ème case du jeu. Il s'agissait donc de doubler la quantité de grain à chaque case. Le roi, surpris de cette demande qui semblait dérisoire, décida d'accorder la récompense demandée mais son conseiller lui expliqua qu'il venait de précipiter le royaume dans la ruine car les récoltes de l'année ne suffiraient pas à payer la récompense.
Illustrons cette légende par des chiffres ! Voici les 64 cases de l'échiquier est le nombre de grains associé à chaque case.
1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 |
256 | 512 | 1024 | 2 048 | 4 096 | 8 192 | 16 384 | 32 768 |
65 536 | 131 072 | 262 144 | 524 288 | 1 048 576 | 2 097 152 | 4 194 304 | 8 388 608 |
16 777 216 | 33 555 432 | 67 108 864 | 134 217 728 | 268 435 456 | 536 870 912 | 1 073 741 824 | 2 147 483 648 |
4 294 967 296 | 8 589 934 592 | 17 179 869 184 | 34 359 738 368 | 68 719 476 736 | 137 438 953 472 | 274 877 906 944 | 549 755 813 888 |
1 099 511 627 776 | 2 199 023 255 552 | 4 398 046 511 104 | 8 796 093 022 208 | 17 592 186 044 416 | 35 184 372 088 832 | 70 368 744 177 664 | 140 737 488 355 328 |
281 474 976 710 656 | 562 949 953 421 312 | 1 125 899 906 842 624 | 2 251 799 813 685 248 | 4 503 599 627 370 496 | 9 007 199 254 740 992 | 18 014 398 509 481 984 | 36 028 797 018 963 968 |
72 057 594 037 927 936 | 144 115 188 075 855 872 | 288 230 376 151 711 744 | 576 460 752 303 243 488 | 1 152 921 504 606 846 976 | 2 305 843 009 213 693 952 | 4 611 686 018 427 387 904 | 9 223 372 036 854 775 808 |
On constate que la 63ème case devrait comporter plus de 9 milliards de milliards de grains. La récompense attribuée à Sessa serait donc une somme de puissance de 2 :
Cette somme peut être calculée en s'appuyant sur le résultat suivant :
Ce qui donne une récompense de :
Pour donner du sens à cette valeur, on peut considérer qu'un grain de blé pèse environ 0,05 gramme. La récompense correspond donc à un poids de plus de 920 000 millions tonnes de blé !!! Pour information la production annuelle de blé en 2025 est d'environ 800 millions tonnes, on comprend mieux la réaction du conseiller !